त्रिविमीय ज्यामिति प्रश्न 20
प्रश्न 20 - 2024 (31 जनवरी शिफ्ट 1)
बिंदु $Q(0,2,-2)$ की रेखा से दूरी ज्ञात कीजिए, जो बिंदु $P(5,-4,3)$ से गुजरती है और रेखाओं $\overrightarrow{r}=(-3 \hat{i}+2 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}), \quad \lambda \in \mathbb{R} \quad$ और $\quad \vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})+$ $\mu(-\hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}), \mu \in \mathbb{R}$ के लंबवत होती है।
(1) $\sqrt{86}$
(2) $\sqrt{20}$
(3) $\sqrt{54}$
(4) $\sqrt{74}$
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उत्तर (4)
समाधान
अभीष्ट रेखा की दिशा में एक सदिश को निम्नलिखित क्रॉस गुणन के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है
$$ \begin{aligned} & \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right| \\ & =-9 \hat{i}-9 \hat{j}+9 \hat{k} \end{aligned} $$
अभीष्ट रेखा,
$\overrightarrow{r}=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda^{\prime}(-9 \hat{i}-9 \hat{j}+9 \hat{k})$
$\overrightarrow{r}=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$
अब $(0,2,-2)$ की दूरी
$P$ का स्थिति सदिश $(5+\lambda) \hat{i}+(\lambda-4) \hat{j}+(3-\lambda) \hat{k}$
$\overrightarrow{AP}=(5+\lambda) \hat{i}+(\lambda-6) \hat{j}+(5-\lambda) \hat{k}$
$\overrightarrow{AP} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0$
$5+\lambda+\lambda-6-5+\lambda=0$
$\lambda=2$
$|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{49+16+9}$
$\overrightarrow{AP}=\sqrt{74}$
बीटा
