उत्तर (21)

समाधान

रेखा $L_1$ का समीकरण

$ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1} =\lambda $

रेखा $L_2$ का समीकरण

$ \dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-6}{-1}= \mu $

$ P(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda) $

$ Q(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu) $

$\overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\left(DR\right.$ ’s of $\left.L _1\right)$

$\overrightarrow{d}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\left(DR\right.$ ’s of $\left.L _2\right)$

$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$

$=0 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ (DR’s of Line perpendicular to $L _1$ and $L _2$ )

DR of $A B$ line $(3+\mu-\lambda, 3+\mu+\lambda, 3-\mu-\lambda)$

$ \begin{aligned} & & \Rightarrow \dfrac{3+\mu-\lambda}{0}=\dfrac{3+\mu+\lambda}{2}=\dfrac{3-\mu-\lambda}{2} \end{aligned} $

ऊपर के समीकरण को हल करने पर हमें $\mu=-\dfrac{3}{2}$ और $\lambda=\dfrac{3}{2}$ प्राप्त होते हैं

बिंदु $P=\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{2}\right)$

$Q=\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{2}\right)$

$PQ$ का मध्य-बिंदु $=\left(\dfrac{5}{2}, 2,6\right)=(\alpha, \beta, \gamma)$

$2(\alpha+\beta+\gamma)=5+4+12=21$