उत्तर (9)

समाधान

$L _1: \dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z-5}{3}=\lambda \quad \text {dr’s of~} L_1 (4,1,3)=b _1$

$M(4 \lambda+5, \lambda+4,3 \lambda+5)$

$L _2: \dfrac{x+8}{12}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{z+11}{9}=\mu \quad \text {dr’s of~} L_2 (12,5,9)=b _2$

$N(12 \mu-8,5 \mu-2,9 \mu-11)$

$\overrightarrow{MN}=(4 \lambda-12 \mu+13, \lambda-5 \mu+6,3 \lambda-9 \mu+16) \ldots (1)$

अब

$\overrightarrow{b} _1 \times \overrightarrow{b} _2=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 3 \\ 12 & 5 & 9\end{array}\right|=-6 \hat{i}+8 \hat{k} \ldots (2) $

समीकरण (1) और (2)

$\therefore \dfrac{4 \lambda-12 \mu+13}{-6}=\dfrac{\lambda-5 \mu+6}{0}=\dfrac{3 \lambda-9 \mu+16}{8}$

I और II

$\lambda-5 \mu+6=0 \ldots (3)$

I और III

$\lambda-3 \mu+4=0\ldots (4)$

समीकरण (3) और (4) को हल करने पर

$\lambda=-1, \mu=1$

$\therefore M(1,3,2)$

$N(4,3,-2)$

$\therefore \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=4+9-4=9$