सीधी रेखाएँ प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 2024 (27 जनवरी शिफ्ट 2)
यदि $\alpha$ के सभी वास्तविक मानों के वर्गों के योग $p$ है, जिनके लिए रेखाएँ $2 x-y+3=0,6 x+3 y+1=0$ और $\alpha x+2 y-2=0$ त्रिभुज नहीं बनाती हैं, तो $p$ के बराबर या कम से बड़े पूर्णांक क्या है?
उत्तर दिखाएँ
उत्तर (32)
समाधान
$2 x-y+3=0$
$6 x+3 y+1=0$
$\alpha x+2 y-2=0$
यदि $\alpha x+2 y-2=0$ रेखा $2 x-y+3=0$ और $6 x+3 y+1=0$ के साथ संगत हो या इनमें से किसी एक के समानांतर हो तो ये त्रिभुज नहीं बनाएंगी।
केस-1: संगत रेखाएँ
$\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ \alpha & 2 & -2\end{array}\right|=0 \Rightarrow \alpha=\frac{4}{5}$
केस-2: समानांतर रेखाएँ
$-\frac{\alpha}{2}=\frac{-6}{3}$ या $-\frac{\alpha}{2}=2$
$\Rightarrow \alpha=4$ या $\alpha=-4$
$P=16+16+\frac{16}{25}$
$[P]=\left[32+\frac{16}{25}\right]=32$
बीटा
