गुणोत्तर श्रेणी और अनुक्रम प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 2)
यदि एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के तीन क्रमागत पद एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हों और $[r]$ वह बड़ी संख्या हो जो $r$ के बराबर या उससे कम हो, तो $3[r]+[-r]$ किसके बराबर है:
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उत्तर (1)
समाधान
a, ar, $ar^{2} \rightarrow$ G.P.
किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है
$a+a r>a r^{2}, a+a r^{2}>a r, a r+a r^{2}>a$
$r^{2}-r-1<0$
$r \in\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \ldots$
$r^{2}-r+1>0$
हमेशा सत्य होता है।
$r^{2}+r-1>0$
$r \in\left(-\infty,-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$.
(1) और (2) के प्रतिच्छेदन को लेते हुए
$r \in\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
क्योंकि $r > 1$
$r \in\left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
$[r]=1[-r]=-1$
$3[r]+[-r]=1$
बीटा
