मैट्रिक्स प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $R=\left(\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right)$ एक गैर-शून्य $3 \times 3$ मैट्रिक्स है, जहाँ $x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)$ $\neq 0, \theta \in(0,2 \pi)$. एक वर्ग मैट्रिक्स $M$ के लिए, trace (M) को $M$ के सभी विकर्ण तत्वों के योग के रूप में परिभाषित करते हैं। तब,
निम्नलिखित कथनों में से:
(I) Trace $(R)=0$
(II) यदि trace $(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(R)))=0$, तो $R$ के ठीक एक गैर-शून्य प्रविष्टि होती है।
(1) (I) और (II) दोनों सत्य हैं
(2) (I) और (II) दोनों गलत हैं
(3) केवल (II) सत्य है
(4) केवल (I) सत्य है
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उत्तर (2)
समाधान
- $x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$
$\Rightarrow x, y, z \neq 0$
इसके अतिरिक्त,
$ \begin{aligned} & \sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=0 \ \forall \ \theta \in R \\ & \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \\ & \Rightarrow x y+y z+z x=0 \end{aligned} $
(i) $\operatorname{Trace}(R)=x+y+z$
यदि $x+y+z=0$ और $x y+y z+z x=0$
$\Rightarrow x=y=z=0$
कथन (i) गलत है
(ii) $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(R))=|R|^2 R$
Trace $(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(R)))$
$=x y z(x+y+z) \neq 0$
कथन (ii) भी गलत है
बीटा
