उत्तर (2)

समाधान

$A=I _2-2 MM^{T}$

$A^{2}=\left(I _2-2 MM^{T}\right)\left(I _2-2 MM^{T}\right)$

$=I _2-2 MM^{T}-2 MM^{T}+4 MM^{T} MM^{T}$

$=I _2-4 MM^{T}+4 MM^{T}$

$=I _2$

$AX=\lambda X$

$A^{2} X=\lambda AX$

$X=\lambda(\lambda X)$

$X=\lambda^{2} X$

$X\left(\lambda^{2}-1\right)=0$

$\lambda^{2}=1$

$\lambda= \pm 1$

सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $=2$

एक अन्य विधि

$M= \begin{bmatrix} 1 \ 0\end{bmatrix} \quad M^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$

$M^{T}M = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_1 = -1, \lambda_2=1$

$\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^2 = (-1)^2 +(1)^2 = 2$