अनिश्चित समाकलन प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 2024 (29 जनवरी शिफ्ट 1)
$ x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ के लिए, यदि $ y(x)=\int \frac{\operatorname{cosec} x+\sin x}{\operatorname{cosec} x \sec x+\tan x \sin ^{2} x} d x $ और $ \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} y(x)=0 $ तो $ y\left(\frac{\pi}{4}\right) $ के बराबर है
(1) $ \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $
(2) $ \frac{1}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $
(3) $ -\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $
(4) $ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) $
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उत्तर (4)
समाधान
$ y(x)=\int \frac{\left(1+\sin ^{2} x\right) \cos x}{1+\sin ^{4} x} d x $
$ \sin x=t $ रखें
$ =\int \frac{1+t^{2}}{t^{4}+1} d t=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1} \frac{\left(t-\frac{1}{t}\right)}{\sqrt{2}}+C $
$ x=\frac{\pi}{2}, t=1 \quad \therefore C=0 $
$ y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) $
बीटा
