हाइपरबोला प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए हाइपरबोला $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लैटस रेक्टम केंद्र पर $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है। यदि $b^{2}$ के बराबर $\frac{l}{m}(1+\sqrt{n})$ है, जहाँ $l$ और $m$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $l^{2}+m^{2}+n^{2}$ के बराबर है
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उत्तर (182)
समाधान
LR केंद्र पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता है
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{b^{2} / a}{a e}=\frac{b^{2}}{a^{2} e}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow e=\frac{\sqrt{3} b^{2}}{9}$
इसके अतिरिक्त, $e^{2}=1+\frac{b^{2}}{9} \Rightarrow 1+\frac{b^{2}}{9}=\frac{3 b^{4}}{81}$
$\Rightarrow b^{4}=3 b^{2}+27$
$\Rightarrow b^{4}-3 b^{2}-27=0$
$\Rightarrow b^{2}=\frac{3}{2}(1+\sqrt{13})$
$\Rightarrow \ell=3, m=2, n=13$
$\Rightarrow \ell^{2}+m^{2}+n^{2}=182$
बीटा
