हाइपरबोला प्रश्न 3
प्रश्न 3 - 2024 (27 जनवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $e _1$ हाइपरबोला $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ की उत्केन्द्रता है और $e _2$ वृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$ की उत्केन्द्रता है, जो हाइपरबोला के फोकस से गुजरता है। यदि $e _1 e _2=1$, तो वृत्त के उस चोर्ड की लंबाई जो $x$-अक्ष के समानांतर है और $(0,2)$ से गुजरता है, है :
(1) $4 \sqrt{5}$
(2) $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$
(3) $\frac{10 \sqrt{5}}{3}$
(4) $3 \sqrt{5}$
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उत्तर (3)
समाधान
$H: \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad e _1=\frac{5}{4}$
$\therefore e _1 e _2=1 \Rightarrow e _2=\frac{4}{5}$
इसके अतिरिक्त, वृत्त $( \pm 5,0)$ से गुजरता है
$\therefore a=5$ और $b=3$
$E: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
चोर्ड के सिरे $\left( \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 2\right)$ हैं
$\therefore L _{PQ}=\frac{10 \sqrt{5}}{3}$
बीटा
