फंक्शन प्रश्न 6
प्रश्न 6 - 2024 (29 जनवरी शिफ्ट 1)
एक फंक्शन $f:\left[\frac{1}{2}, 1\right] \rightarrow R$ द्वारा $f(x)=4 \sqrt{2} x^{3}-3 \sqrt{2} x-1$ परिभाषित है। निम्नलिखित कथनों को ध्यान में रखिए:
(I) वक्र $y=f(x)$ x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटता है
(II) वक्र $y=f(x)$ x-अक्ष को $x=\cos \frac{\pi}{12}$ पर काटता है
तो
(1) केवल (II) सही है
(2) (I) और (II) दोनों गलत हैं
(3) केवल (I) सही है
(4) (I) और (II) दोनों सही हैं
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उत्तर (4)
समाधान
$f^{\prime}(x)=12 \sqrt{2} x^{2}-3 \sqrt{2} \geq 0$ लिए $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
$f\left(\frac{1}{2}\right)<0$
$f(1)>0 \Rightarrow (A)$ सही है।
$f(x)=\sqrt{2}\left(4 x^{3}-3 x\right)-1=0$
मान लीजिए $\cos \alpha=x$,
$\Rightarrow \sqrt{2} (4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha)-1 = 0$
$\Rightarrow 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos 3 \alpha=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{12}$
$x=\cos \frac{\pi}{12}$
(4) सही है।
बीटा
