उत्तर (1)

समाधान

फंक्शन $f(g(x))$ के डोमेन ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए फंक्शन $f(x)$ और $g(x)$ के बारे में विश्लेषण करेंगे:

$ \begin{aligned} & f(x)=\dfrac{2 x+3}{2 x+1} \\ & g(x)=\dfrac{|x|+1}{2 x+5} \end{aligned} $

चरण 1: $g(x)$ के डोमेन का निर्धारण

$g(x)$ वह सभी वास्तविक संख्याएं जहां हर शून्य नहीं होता है। इसलिए, हम ज्ञात करेंगे जब:

$ 2 x+5=0 $

$ x $ के लिए हल करें:

$ 2 x=-5 \Rightarrow x=-\dfrac{5}{2} $

इसलिए, $g(x)$ के डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं जहां $x=-\dfrac{5}{2}$ नहीं है:

Domain of $g(x)=\mathbb{R} \backslash\left\lbrace-\dfrac{5}{2}\right\rbrace$

चरण 2: $g(x)$ के परिसर का निर्धारण

अब हम $g(x)$ के परिसर का निर्धारण करेंगे ताकि $g(x)$ के किन मानों के लिए $f(g(x))$ अपरिभाषित हो सकता है।

$f(x)$ के अपरिभाषित होने के लिए, हम $f(x)$ के हर को शून्य करेंगे:

$ 2 g(x)+1=0 $

$g(x)$ के लिए हल करें:

$ 2 g(x)=-1 \Rightarrow g(x)=-\dfrac{1}{2} $

इसलिए, $f(g(x))$ अपरिभाषित होता है जब $g(x)=-\dfrac{1}{2}$ हो।

चरण 3: $g(x)=-\dfrac{1}{2}$ के लिए $x$ का निर्धारण

अब हम ज्ञात करेंगे जब:

$ \dfrac{|x|+1}{2 x+5}=-\dfrac{1}{2} $

क्रॉस-गुणन करने पर:

$ 2(|x|+1)=-1(2 x+5) $

यह सरलीकृत होता है:

$ 2|x|+2=-2 x-5 $

पदों को व्यवस्थित करने पर:

$ 2|x|+2+2 x+5=0 \Rightarrow 2|x|+2 x+7=0 $

केस 1: $x \geq 0$

यदि $x \geq 0$, तो $|x|=x$:

$ 2 x+2 x+7=0 \Rightarrow 4 x+7=0 \Rightarrow x=-\dfrac{7}{4} $

इस मान के लिए डोमेन अवैध है क्योंकि $x$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।

केस 2: $x<0$

यदि $x<0$, तो $|x|=-x$:

$ \begin{aligned} & 2(-x)+2 x+7=0 \Rightarrow-2 x+2 x+7=0 \Rightarrow 7=0 \end{aligned} $

इस केस में कोई वैध समाधान नहीं है।

चरण 4: सीमाओं का संयोजन

विश्लेषण से हम ज्ञात करते हैं कि:

1. $g(x)$ के डोमेन सभी $x$ के लिए है जहां $-\dfrac{5}{2}$ नहीं है।

2. $f(g(x))$ अपरिभाषित होता है जब $g(x)=-\dfrac{1}{2}$, जो कोई वैध $x$ नहीं देता।

इसलिए, $f(g(x))$ के डोमेन के लिए एकमात्र सीमा $g(x)$ से है:

Domain of $f(g(x))=\mathbb{R} \backslash\left\lbrace-\dfrac{5}{2}\right\rbrace$