फंक्शन प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $f(x)=\left[\begin{array}{ll}\log _e x & x>0 \ e^{-x} & x \leq 0\end{array}\right].$,
$g(x)=\left[\begin{array}{ll}x & x \geq 0 \ e^x & x<0\end{array}\right].$. तो gof: $R \rightarrow R$ है:
(1) एकैकी लेकिन गैर-परिसर वाला
(2) न तो एकैकी और न ही परिसर वाला
(3) परिसर वाला लेकिन एकैकी नहीं
(4) दोनों एकैकी और परिसर वाला
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उत्तर (2)
समाधान
$g(f(x))=\begin{cases}f(x), & f(x) \geq 0 \\ e^{f(x)}, & f(x)<0\end{cases}$
$g(f(x))=\begin{cases}e^{-x}, & (-\infty, 0] \\ e^{\ln x}, & (0,1) \\ \ln x, & [1, \infty)\end{cases}$
$g(f(x))$ का ग्राफ
$g(f(x)) \Rightarrow$ अनेक-एक तथा परिसर वाला
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एकैकी: एक फंक्शन एकैकी कहलाता है यदि अलग-अलग इनपुट अलग-अलग आउटपुट देते हैं। यहाँ, $g(f(x))$ एकैकी नहीं है क्योंकि $g(f(x))=x$ जब $0<x<1$ और भी $g(f(x))=\log _e x$ जब $x \geq 1$ होता है, जो अलग-अलग इनपुट के लिए समान आउटपुट उत्पन्न कर सकता है।
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परिसर: एक फंक्शन परिसर वाला कहलाता है यदि सभी संभव आउटपुट को कवर किया जाता है। $g(f(x))$ के परिसर में सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल नहीं हैं क्योंकि $g(f(x))$ केवल $(0, \infty)$ के मान उत्पन्न करता है और नकारात्मक मान शामिल नहीं हैं।
इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $g(f(x))$ न तो एकैकी और न ही परिसर वाला है।
बीटा
