अवकल समीकरण प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 2024 (27 जनवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $x=x(t)$ और $y=y(t)$ क्रमशः अवकल समीकरण $\frac{dx}{dt}+ax=0$ और $\frac{dy}{dt}+by=0$ के हल हैं, $a, b \in R$. दिया गया है कि $x(0)=2 ; y(0)=1$ और $3 y(1)=2 x(1)$, तो ऐसे $t$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $x(t)=y(t)$ हो:
(1) $\log _{\frac{2}{3}} 2$
(2) $\log _4 3$
(3) $\log _3 4$
(4) $\log _{\frac{4}{3}} 2$
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उत्तर (4)
समाधान
$\frac{d x}{d t}+a x=0$
$\frac{d x}{x}=-a d t$
$\int \frac{d x}{x}=-a \int d t$
$\ln |x|=-a t+c$
$ t=0, x=2 $ के लिए
$\ln 2=0+c$
$\ln x=-a t+\ln 2$
$\frac{x}{2}=e^{-a t}$
$x=2 e^{-at}$.
$\frac{d y}{d t}+b y=0$
$\frac{d y}{y}=-b d t$
$\ln |y|=-b t+\lambda$
$ t=0, y=1 $ के लिए
$ 0=0+\lambda $
$ y=e^{-b t} $.
प्रश्न के अनुसार
$ 3 y(1)=2 x(1) $
$ 3 e^{-b}=2\left(2 e^{-a}\right) $
$ e^{a-b}=\frac{4}{3} $
$ x(t)=y(t) $ के लिए
$ \Rightarrow 2 e^{-at}=e^{-bt} $
$ 2=e^{(a-b) t} $
$ \begin{aligned} & 2=\left(\frac{4}{3}\right)^{t} \\ & \log _{\frac{4}{3}} 2=t \end{aligned} $
बीटा
