अवकल समीकरण प्रश्न 3
प्रश्न 3 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=2$ और $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1$। यदि $f^{\prime}(x)=\alpha f(x)+3$, सभी $x \in R$ के लिए, तो $f\left(-\log _e 2\right)$ किसके बराबर है?
(1) 3
(2) 5
(3) 9
(4) 7
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उत्तर (3)
समाधान
$f(0)=2, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1$
$f^{\prime}(x)-\alpha \cdot f(x)=3$
I.F $=e^{-\alpha x}$
$y\left(e^{-\alpha x}\right)=\int 3 \cdot e^{-\alpha x} d x$
$f(x) \cdot\left(e^{-\alpha x}\right)=\frac{3 e^{-\alpha x}}{-\alpha}+c$
$x=0 \Rightarrow 2=\frac{-3}{\alpha}+c \Rightarrow \frac{3}{\alpha}=c-2 $
$f(x)=\frac{-3}{\alpha}+c \cdot e^{\alpha x}$
$x \rightarrow-\infty \Rightarrow 1=\frac{-3}{\alpha}+c(0)$
$\alpha=-3 $
$\therefore c=1$
$f(-\ln 2)=\frac{-3}{\alpha}+c \cdot e^{\alpha x}$
$=1+e^{3 \ln 2}$
$=9$
(लेकिन $\alpha$ के लिए $c$ के अंतिम मान के लिए $\alpha$ धनात्मक होना चाहिए)
बीटा
