अवकल समीकरण प्रश्न 16
प्रश्न 16 - 2024 (31 जनवरी शिफ्ट 2)
एक वस्तु के तापमान $T(t)$, समय $t=0$ पर $160^{\circ} F$ है और यह अवकल समीकरण $\frac{dT}{dt}=-K(T-80)$ के अनुसार निरंतर घट रहा है, जहाँ $K$ धनात्मक स्थिरांक है। यदि $T(15)=120^{\circ} F$, तो $T(45)$ किसके बराबर है?
(1) $85^{\circ} F$
(2) $95^{\circ} F$
(3) $90^{\circ} F$
(4) $80^{\circ} F$
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उत्तर (3)
समाधान
$\frac{d T}{dt}=-k(T-80)$
$\int _{160}^{T} \frac{dT}{(T-80)}=\int _0^{t}-kdt$
$[\ln |T-80|] _{160}^{T}=-kt$
$\ln |T-80|-\ln 80=-kt$
$\ln \left|\frac{T-80}{80}\right|=-kt$
$T=80+80 e^{-kt}$
$120=80+80 e^{-k \cdot 15}$
$\frac{40}{80}=e^{-k 15}=\frac{1}{2}$
$\therefore T(45)=80+80 e^{-k \cdot 45}$
$=80+80\left(e^{-k \cdot 15}\right)^{3}$
$=80+80 \times \frac{1}{8}$
$=90$
बीटा
