अवकल समीकरण प्रश्न 13
प्रश्न 13 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\left(1-x^{2}\right) d y=\left[x y+\left(x^{3}+2\right) \sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}\right] d x$, $-1<x<1 , y(0)=0$ का हल है। यदि $y\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{m}{n}, m$ और $n$ सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो $m+n$ किसके बराबर है?
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उत्तर (97)
हल
$\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{x y}{1-x^{2}}=\dfrac{\left(x^{3}+2\right) \sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}}{1-x^{2}}$
$IF=e^{-\int \dfrac{x}{1-x^{2}} dx}=e^{+\dfrac{1}{2} \ln \left(1-x^{2}\right)}=\sqrt{1-x^{2}}$
$y \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{3} \int\left(x^{3}+2\right) d x$
$y \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{3}\left(\dfrac{x^{4}}{4}+2 x\right)+c$
दिया गया है $y(0)=0$
$\Rightarrow c=0$
$y\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{65}{32}=\dfrac{m}{n}$
$m+n=97$
बीटा
