उत्तर (1)

समाधान

अवकल समीकरण :-

$ \Rightarrow x \cos \frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=y \cos \frac{y}{x}+x$

$ \Rightarrow \cos \frac{y}{x}\left[x \frac{d y}{d x}-y\right]=x$

दोनों ओर को $x^{2}$ से विभाजित करें

$\Rightarrow \cos \frac{y}{x}\left(\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{x^{2}}\right)=\frac{1}{x}$

मान लीजिए $\frac{y}{x}=t$

$\Rightarrow \cos t\left(\frac{d t}{d x}\right)=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \cos t d t=\frac{1}{x} d x$

दोनों ओर समाकलन करें

$\Rightarrow \sin t=\ln |x|+c$

$ \Rightarrow \sin \frac{y}{x}=\ln |x|+c$

$y(1)=\frac{\pi}{3}$ का उपयोग करते हुए, हमें $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है

इसलिए, $\alpha=\sqrt{3} \Rightarrow \alpha^{2}=3$