निश्चालक प्रश्न 6
प्रश्न 6 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 1)
रैखिक समीकरण के प्रणाली $x+y+z=4 \mu, x+2 y+2 \lambda z=10 \mu, x+3 y+4 \lambda^{2} z=\mu^{2}+15$, जहाँ $\lambda, \mu \in R$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?
(1) यदि $\lambda \neq \frac{1}{2}$ और $\mu \neq 1,15$ तो प्रणाली अद्वितीय हल रखती है
(2) यदि $\lambda=\frac{1}{2}$ और $\mu \neq 1$ तो प्रणाली असंगत है
(3) यदि $\lambda=\frac{1}{2}$ और $\mu=15$ तो प्रणाली अपरिमित संख्या में हल रखती है
(4) यदि $\lambda \neq \frac{1}{2}$ तो प्रणाली संगत है
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उत्तर (2)
समाधान
$x+y+z=4 \mu$
$ x+2 y+2 \lambda z=10 \mu $
$x+3 y+4 \lambda{ }^{2} z=\mu^{2}+15$
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \lambda \\ 1 & 3 & 4 \lambda^{2}\end{array}\right|=(2 \lambda-1)^{2}$
अद्वितीय हल के लिए $\Delta \neq 0,2 \lambda-1 \neq 0,\left(\lambda \neq \frac{1}{2}\right)$
मान लीजिए $\Delta=0, \lambda=\frac{1}{2}$
$\Delta _y=0, \Delta _x=\Delta _z=\left|\begin{array}{ccc}4 \mu & 1 & 1 \\ 10 \mu & 2 & 1 \\ \mu^{2}+15 & 3 & 1\end{array}\right|$
$=(\mu-15)(\mu-1)$
अपरिमित संख्या में हल के लिए $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=1$ या 15
बीटा
