उत्तर (4)

समाधान

मान लीजिए $g(x)=a x+b$

अब फलन $f(x)$ $x=0$ पर असतत नहीं है

$\therefore \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0)$

$\Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}}=b$

$\Rightarrow 0=b$

$\therefore g(x)=a x$

अब, $\mathbf{x}>0$ के लिए

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \cdot\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}-1} \cdot \frac{1}{(2+x)^{2}}$

$+\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(\frac{1+x}{2+x}\right) \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$

$\therefore f^{\prime}(1)=\frac{1}{9}-\frac{2}{3} \cdot \ln \left(\frac{2}{3}\right)$

और $f(-1)=g(-1)=-a$

$\therefore a=\frac{2}{3} \ln \left(\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{9}$

$\therefore g(3)=2 \ln \left(\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{3}$

$=\ln \left(\frac{4}{9 \cdot e^{1 / 3}}\right)$