असततता और अवकलनीयता प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $\quad f: \mathbb{R}-{0} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जो सभी $x, y, f(y) \neq 0$ के लिए $f\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{f(x)}{f(y)}$ संतुष्ट करता है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$, तो
(1) $x f^{\prime}(x)-2024 f(x)=0$
(2) $x f f^{\prime}(x)+2024 f(x)=0$
(3) $x f^{\prime}(x)+f(x)=2024$
(4) $x f^{\prime}(x)-2023 f(x)=0$
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उत्तर (1)
समाधान
$f\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{f(x)}{f(y)}$
$f^{\prime}(1)=2024$
$f(1)=1$
$ x $ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर
$f^{\prime}\left(\dfrac{x}{y}\right) \cdot \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{f(y)} f^{\prime}(x)$
$ y \rightarrow x $
$f^{\prime}(1) \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
$2024 f(x)=x f^{\prime}(x) \Rightarrow x f^{\prime}(x)-2024 f(x)=0$
बीटा
