असततता और अवकलनीयता प्रश्न 6
प्रश्न 6 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 1)
यदि फलन $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{|x|} & ,|x| \geq 2 \\ a x^{2}+2 b, & |x|<2\end{cases}$ सभी वास्तविक संख्याओं पर अवकलनीय है, तो $48(a+b)$ किसके बराबर है?
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उत्तर (15)
समाधान
$f(x)\begin{cases} \dfrac{1}{x} ; \quad x \geq 2 \\ ax^{2}+2 b ;\quad -2<x<2 \\ -\dfrac{1}{x} ; \quad x \leq-2 \end{cases}$
$ x=2 $ पर असततता नहीं है $ \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{4}+2 b $
$ x=-2 $ पर असततता नहीं है $ \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{4}+2 b $
क्योंकि, यह $ x=2 $ पर अवकलनीय है
$ -\dfrac{1}{x^{2}}=2 a x $
$ x=2 $ पर अवकलनीय है $ \Rightarrow \dfrac{-1}{4}=4 a \Rightarrow a=\dfrac{-1}{16}, b=\dfrac{3}{8} $
$ 48(a+b)=48(\dfrac{-1}{16}+\dfrac{3}{8}) $
$ \Rightarrow 48(a+b)=15 $
बीटा
