असततता एवं अवकलनीयता प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 2024 (27 जनवरी शिफ्ट 2)
फलन $f:(0,2) \rightarrow R$ द्वारा $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$ द्वारा परिभाषित एवं फलन $g(x)$ द्वारा $g(x)=\begin{cases}\min {f(t)}, & 0<t \leq x \text { एवं } 0<x \leq 1 \\ \frac{3}{2}+x, & 1<x<2\end{cases}$. द्वारा परिभाषित है। तब
(1) $g$ असतत नहीं है लेकिन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है
(2) $g$ सभी $x \in(0,2)$ के लिए असतत है
(3) $g$ $x=1$ पर न तो असतत न ही अवकलनीय है
(4) $g$ सभी $x \in(0,2)$ के लिए असतत एवं अवकलनीय है
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उत्तर (1)
समाधान
$f:(0,2) \rightarrow R ; f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^{2}}$
$\therefore f(x)$ डोमेन में घटता है।
$g(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{2}{x} & 0<x \leq 1 \\ \frac{3}{2}+x & 1<x<2\end{cases}$
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट रूप से $g(x)$ $x=1$ पर असतत नहीं है लेकिन अवकलनीय नहीं है
बीटा
