असततता एवं अवकलनीयता प्रश्न 3
प्रश्न 3 - 2024 (27 जनवरी शिफ्ट 1)
एक फलन को विचार करें।
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{a\left(7 x-12-x^{2}\right)}{b\left|x^{2}-7 x+12\right|} & , x<3 \\ 2^{\dfrac{\sin (x-3)}{x-[x]}} & , \quad x>3 \\ b & , \quad x=3\end{cases}$
जहाँ $[x]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या बराबर हो। यदि $S$ वह समुच्चय है जिसमें सभी क्रमित युग्म $(a, b)$ शामिल हैं जैसे कि $f(x)$, $x=3$ पर असतत न हो, तो $S$ में तत्वों की संख्या है :
(1) 2
(2) अपरिमित रूप से कई
(3) 4
(4) 1
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उत्तर (4)
समाधान
$f\left(3^{-}\right)=\dfrac{a}{b} \dfrac{\left(7 x-12-x^{2}\right)}{\left|x^{2}-7 x+12\right|} \quad$ (जब $f(x)$ अवकलनीय हो)
$\Rightarrow f\left(3^{-}\right)=\dfrac{-a}{b} \dfrac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-4)} ; x<3 \Rightarrow \dfrac{-a}{b}$
अतः $f\left(3^{-}\right)=\dfrac{-a}{b}$
फिर $f\left(3^{+}\right)=2^{\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\dfrac{\sin (x-3)}{x-3}\right)}=2$ और
$f(3)=b$
अतः $f(3)=f\left(3^{+}\right)=f\left(3^{-}\right)$
$\Rightarrow b=2=-\dfrac{a}{b}$
$b=2, a=-4$
अतः केवल एक क्रमित युग्म $(-4,2)$ है।
बीटा
