कम्प्लेक्स संख्या प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $P={z \in \mathbb{C}:|z+2-3 i| \leq 1}$ और $Q={z \in \mathbb{C}: z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq-8}$. मान लीजिए $P \cap Q$ में $|z-3+2 i|$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $z _1$ और $z _2$ पर हो। यदि $\left|z _1\right|^{2}+2|z|^{2}=\alpha+\beta \sqrt{2}$, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तो $\alpha+\beta$ के बराबर है
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उत्तर (36)
समाधान
स्पष्ट रूप से छायांकित क्षेत्र के लिए $z _1$ वृत्त और रेखा $P\left(L _1\right)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु है और $z _2$ रेखा $L _1 \& L _2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु है।
वृत्त: $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=1$
$L _1: x+y-1=0$
$L _2: x-y+4=0$
वृत्त और $L _1$ को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं
$z _1:\left(-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$L _1$ और $L _2$ को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं
$z _2:\left(\frac{-3}{2}, \frac{5}{2}\right)$
$$ \begin{aligned} & \quad\left|z _1\right|^{2}+2\left|z _2\right|^{2}=14+5 \sqrt{2}+17 \\ & \quad=31+5 \sqrt{2} \\ & \alpha=31 \end{aligned} $$
इसलिए $\beta=5$
$\alpha+\beta=36$
बीटा
