कम्प्लेक्स संख्या प्रश्न 10
प्रश्न 10 - 2024 (29 जनवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-\sqrt{6} x+3=0$ के मूल हैं जैसे कि $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$. मान लीजिए $a, b$ ऐसे पूर्णांक हैं जो 3 से विभाज्य नहीं हैं और $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जैसे कि $\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^{n}(a+ib), i=\sqrt{-1}$. तो $n+a+b$ किसके बराबर है?
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उत्तर (49)
समाधान
$x^{2}-\sqrt{6} x+6=0 _{\Delta \beta}^{\alpha}$
$x=\frac{\sqrt{6} \pm i \sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}(1 \pm i)$
$\alpha=\sqrt{3}\left(e^{i \frac{\pi}{4}}\right), \beta=\sqrt{3}\left(e^{-i \frac{\pi}{4}}\right)$
$\therefore \frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=\alpha^{98}\left(\frac{\alpha}{\beta}+1\right)$
$=\frac{\alpha^{98}(\alpha+\beta)}{\beta}=3^{49}\left(e^{i 99 \frac{\pi}{4}}\right) \times \sqrt{2}$
$=3^{49}(-1+i)$
$=3^{n}(a+ib)$
$\therefore n=49, a=-1, b=1$
$\therefore n+a+b=49-1+1=49$
बीटा
