कम्प्लेक्स संख्या प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $S = {z \in C:|z-1|= \text{1 और} (\sqrt{2}-1)(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})=2 \sqrt{2}}$. मान लीजिए $z _1, \quad z _2 \in S$ ऐसे हो कि
$\left|z _1\right|=\max _{z \in s}|z|$ और $\left|z _2\right|=\min _{z \in S}|z|$. तब $\left|\sqrt{2} z _1-z _2\right|^{2}$ के बराबर है :
(1) 1
(2) 4
(3) 3
(4) 2
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उत्तर (4)
समाधान
मान लीजिए $Z=x+$ iy
तब $(x-1)^{2}+y^{2}=1 \quad \rightarrow[$ विकल्प 1$]$
$\quad(\sqrt{2}-1)(2 x)-i(2 i y)=2 \sqrt{2}$
$\Rightarrow(\sqrt{2}-1) x+y=\sqrt{2} \rightarrow(2)$
(1) और (2) को हल करने पर
हमें प्राप्त होता है
या तो $x=1$ या $x=\frac{1}{2-\sqrt{2}} \rightarrow$
(3) को (2) के साथ हल करने पर
हमें प्राप्त होता है
$ x=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow Z _2=1+i \&$ जबकि
$ x=\frac{1}{2-\sqrt{2}} \Rightarrow y=\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow Z _1=\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{i}{\sqrt{2}}$
अब
$ \begin{aligned} & \left|\sqrt{2} z _1-z _2\right|^{2} \\ & =\left|\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right) \sqrt{2}+i-(1+i)\right|^{2} \\ & =(\sqrt{2})^{2} \\ & =2 \end{aligned} $
बीटा
