उत्तर (72)

समाधान

$ \begin{gathered} x^{2}+y^{2}=3 \text { और } x^{2}=2 y \\ y^{2}+2 y+3=0 \Rightarrow(y+3)(y-1)=0 \\ y=-3 \text { या } y=1 \\ y=1 x=\sqrt{2} \Rightarrow P(\sqrt{2}, 1) \end{gathered} $

$P$ रेखा

$\sqrt{2} x+y=\alpha$ पर स्थित है

$\sqrt{2}(\sqrt{2})+1=\alpha$

$\alpha=3$

वृत्त $C _1$ के लिए

$Q _1$ y-अक्ष पर स्थित है

मान लीजिए $Q _1(0, \alpha)$ निर्देशांक हैं

$R _1=2 \sqrt{3}$ (दिया गया

रेखा $L$ स्पर्श रेखा के रूप में कार्य करती है

स्पर्श रेखा की शर्त $P=r$ का उपयोग करें

$\Rightarrow\left|\frac{\alpha-3}{\sqrt{3}}\right|=2 \sqrt{3}$

$\Rightarrow|\alpha-3|=6$

$\alpha-3=6$ या $\alpha-3=-6$

$\Rightarrow \alpha=9 \quad \alpha=-3$

$\triangle P Q _1 Q _2=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 1 & 1 \\ 0 & 9 & 1 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}(\sqrt{2}(12))=6 \sqrt{2}$

$\left(\Delta P Q _1 Q _2\right)^{2}=72$