बाइनोमियल प्रमेय प्रश्न 10
प्रश्न 10 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 2)
मान लीजिए $\alpha=\sum _{k=0}^{n}\left(\frac{\left({ }^{n} C _k\right)^{2}}{k+1}\right)$ और $\beta=\sum _{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^{n} C _k{ }^{n} C _{k+1}}{k+2}\right)$
यदि $5 \alpha=6 \beta$, तो $\alpha$ के बराबर है
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उत्तर (10)
समाधान
$ \begin{aligned} \alpha & =\sum _{k=0}^{n} \frac{{ }^{n} C _k \cdot{ }^{n} C _k}{k+1} \cdot 1 \\ & =\frac{1}{n+1} \sum _{k=0}^{n} {n+1 \choose k+1} \cdot {n \choose n-k} \\ \alpha & =\frac{1}{n+1} \cdot{ }^{2 n+1} C _{n+1} \\ \beta & =\sum _{k=0}^{n-1}{ }^{n} C _k \cdot \frac{{ }^{n} C _{k+1}}{k+2} \\ & \frac{1}{n+1} \sum _{k=0}^{n-1} C _{n-k} \cdot{ }^{n+1} C _{k+2} \\ & =\frac{1}{n+1} \cdot{ }^{2 n+1} C _{n+2} \\ \frac{\beta}{\alpha} & = C _{n+2} \\ \frac{\beta}{\alpha} & =\frac{2 n+1-(n+2)-1}{n+2}=\frac{4}{6} \end{aligned} $
$ n=10 $
बीटा
