कर्व के तल के अंतर्गत क्षेत्रफल प्रश्न 6
प्रश्न 6 - 2024 (29 जनवरी शिफ्ट 1)
वृत्त $x^{2}+y^{2}=169$ के भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) जो रेखा $5 x-y=13$ के नीचे है, $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है, जहाँ $\alpha, \beta$ सहसम नंबर हैं। तब $\alpha+\beta$ के बराबर है
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उत्तर (171)
समाधान
मुख्य अवधारणा:- $ \int \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^2- x^2}+\frac{a^3}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)+c $
प्रतिच्छेद बिंदु के लिए
$\begin{aligned} & x^2+y^2=169 \quad 5 x-y=13 \ & x^2+(5 x-13)^2=169 \ & 26 x^2-130 x=0 \ & 26 x(x-5)=0 \ & x=0, x=5\end{aligned}$
क्षेत्रफल $=\int _{-13}^{12} \sqrt{169-y^{2}} d y-\frac{1}{2} \times 25 \times 5$
$=\frac{\pi}{2} \times \frac{169}{2}-\frac{65}{2}+\frac{169}{2} \sin ^{-1} \frac{12}{13}$
$\therefore \alpha+\beta=171$
बीटा
