कक्षा के तल के अंतरगत क्षेत्रफल प्रश्न 12
प्रश्न 12 - 2024 (31 जनवरी शिफ्ट 2)
परवलय $y=4 x-x^{2}$ और $3 y=(x-4)^{2}$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर है:
(1) $\dfrac{32}{9}$
(2) 4
(3) 6
(4) $\dfrac{14}{3}$
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उत्तर (3)
समाधान
प्रतिच्छेद बिंदु के लिए
$y=4x -x^2~$ & $~ 3y=(x-4)^2$
$\Rightarrow 3y =12x-3x^2$
$\Rightarrow x^2 +16-8x =12x-3x^2 $
$\Rightarrow 3x^2-12x +x^2+16-8x=0$
$\Rightarrow 4x^2-20x+16=0$
$\Rightarrow x^2-5x +4=0$
$\Rightarrow x=1, 4$
$ \begin{aligned} & \text { क्षेत्रफल }=\left|\int _1^{4}\left[\left(4 x-x^{2}\right)-\dfrac{(x-4)^{2}}{3}\right]\right| d x \\ & \text { क्षेत्रफल }=\left|\dfrac{4 x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{(x-4)^{3}}{9}\right| _1^{4} \\ & =\left|\left(\dfrac{64}{2}-\dfrac{64}{3}-\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{27}{9}\right)\right| \\ & \Rightarrow(27-21)=6 \end{aligned} $
बीटा
