अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 2024 (30 जनवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ एक ऐसा अस्थिर द्विगुण अवकलनीय फलन है जैसे कि $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$. यदि एक वास्तविक मान फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित होता है $f(x)=\frac{1}{2}[g(x)+g(2-x)]$, तो
(1) $f^{\prime \prime}(x)=0$ कम से कम दो $x$ के लिए $(0,2)$ में
(2) $f^{\prime \prime}(x)=0$ केवल एक $x$ के लिए $(0,1)$ में
(3) $f^{\prime \prime}(x)=0$ कोई भी $x$ के लिए $(0,1)$ में
(4) $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1$
उत्तर दिखाएं
उत्तर (1)
समाधान
$f^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(2-x)}{2}, f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)-g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)}{2}=0$
इसके अतिरिक्त $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)-g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)}{2}=0, f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$\Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$\Rightarrow \operatorname{मूलों} \operatorname{में}\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ और $\left(1, \frac{3}{2}\right)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(x)$ कम से कम दो बार $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ में शून्य होता है
बीटा
