उत्तर (3)

समाधान

$g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ और $f^{\prime \prime}(x)>0 \forall x \in(0,3) \Rightarrow f^{\prime}(x)$ एक बढ़ती फलन है

$g^{\prime}(x)=3 \times \frac{1}{3} \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)-f^{\prime}(3-x)$

$=f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)-f^{\prime}(3-x)$

यदि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में घटती है

$g^{\prime}(x)<0$

$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)-f^{\prime}(3-x)<0$

$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)<f^{\prime}(3-x)$

$\Rightarrow \frac{x}{3} < 3-x$

$\Rightarrow x<\frac{9}{4}$

यदि $g$ अंतराल $(\alpha,3)$ में बढ़ती है

$g^{\prime}(x)>0$

$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)-f^{\prime}(3-x)>0$

$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right)>f^{\prime}(3-x)$

$\Rightarrow \frac{x}{3}>3-x$

$\Rightarrow x>\frac{9}{4}$

अतः $\alpha=\frac{9}{4}$

तब $8 \alpha=8 \times \frac{9}{4}=18$