अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 2024 (01 फरवरी शिफ्ट 1)
यदि $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2}-2, \forall x \neq 0$ और $y=9 x^{2} f(x)$, तो $y$ निम्नलिखित में सख्त रूप से बढ़ रहा है:
(1) $\left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$
(2) $\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$
(3) $\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup\left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
(4) $\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup\left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
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उत्तर (2)
समाधान
$5f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2}-2, \forall x \neq 0$
$ x \rightarrow \frac{1}{x} $ के लिए प्रतिस्थापित करें
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=\frac{1}{x^{2}}-2$
(1) और (2) को हल करने पर
$f(x)=\frac{5 x^{4}-2 x^{2}-4}{9 x^{2}}$
$y=9 x^{2} f(x)$
$y=5 x^{4}-2 x^{2}-4$.
$\frac{d y}{d x}=20 x^{3}-4 x$
सख्त रूप से बढ़ रहा है
$\frac{dy}{dx}>0$
$4 x\left(5 x^{2}-1\right)>0$
$x \in\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$
बीटा
