वेक्टर बीजगणित प्रश्न 9
प्रश्न 9 - 29 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\vec{a}, b$ और $\vec{c}$ तीन गैर-शून्य गैर-समतलीय वेक्टर हैं। चार बिंदुओं $A$, $B$, $C$ और $D$ के स्थिति वेक्टर क्रमशः $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}, \quad \lambda \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}$, $-\vec{a}+2 \vec{b}-3 \vec{c}$ और $2 \vec{a}-4 \vec{b}+6 \vec{c}$ हैं। यदि $\overrightarrow{{}AB}$, $\overrightarrow{{}AC}$ और $\overrightarrow{{}AD}$ समतलीय हैं, तो $\lambda$ है:
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: скаलर ट्रिपल उत्पाद; तीन वेक्टरों के समतलीय या गैर-समतलीय होने की शर्त
$ \begin{aligned} & \overrightarrow{A B}=(\lambda-1) \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c} \\ & \overrightarrow{A C}=2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c} \\ & \overrightarrow{A D}=\vec{a}-3 \vec{b}+5 \vec{c} \\ & \therefore \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} =0 \\ & \Rightarrow(\lambda-1)(15-12)+2(-10+4)+3(6-3)=0 \end{aligned} $
$\Rightarrow (\lambda - 1)(3)+2(-6)+3(3) =0$
$\Rightarrow (\lambda - 1 )(3)-12+9 =0$
$\Rightarrow (\lambda -1 )(3)=3$
$\Rightarrow \lambda -1 = 1$
$\Rightarrow \lambda = 2$
बीटा
