वेक्टर बीजगणित प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 29 जनवरी - शिफ्ट 1
यदि वेक्टर $\vec{a}=\lambda \hat{i}+\mu \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ समतलीय हैं और $\vec{a}$ के $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का मान $\sqrt{54}$ इकाई है, तो $\lambda+\mu$ के सभी संभावित मानों का योग किसके बराबर है?
(1) 0
(2) 6
(3) 24
(4) 18
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: दो वेक्टरों का अदिश गुणनफल; एक वेक्टर के दूसरे वेक्टर पर प्रक्षेप , अदिश त्रिक गुणनफल; चार वेक्टरों के समतलीय होने की शर्त
$ \begin{vmatrix} \lambda & \mu & 4 \\ -2 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix} =0$
$\Rightarrow\lambda(10)-\mu\cdot (2)+4\cdot(-14)=0$
$\Rightarrow 10\lambda-2 \mu=56$
$\Rightarrow 5 \lambda-\mu=28 \quad \ldots (i)$
$\frac{\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}b}}{|\overrightarrow{{}b}|}=\sqrt{54}$
$\Rightarrow \frac{-2 \lambda+4 \mu-8}{\sqrt{24}}=\sqrt{54}$
$\Rightarrow -2 \lambda+4 \mu-8=\sqrt{54 \times 24} \quad \ldots (ii)$
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर
$\Rightarrow \lambda+\mu=24$
बीटा
