वेक्टर बीजगणित प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 25 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन गैर-शून्य वेक्टर हैं जैसे कि $\vec{b} \cdot \vec{c}=0$ और $\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\frac{\vec{b}-\vec{c}}{2}$. यदि $\vec{d}$ एक वेक्टर है जैसे कि $\vec{b} \cdot \vec{d}=\vec{a} \cdot \vec{b}$, तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})$ किसके बराबर है?
(1) $\frac{3}{4}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $-\frac{1}{4}$
(4) $\frac{1}{4}$
उत्तर दिखाएं
उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: वेक्टर के अदिश गुणनफल के गुणधर्म , वेक्टर के क्रॉस गुणनफल के गुणधर्म
दिया गया है, $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b}-\vec{c}}{2}$
$(\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}c}) \overrightarrow{{}b}-(\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}b}) \overrightarrow{{}c}=\frac{\overrightarrow{{}b}-\overrightarrow{{}c}}{2}$
$\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}c}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}b}=\frac{1}{2}$
$\because \ \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
$\therefore \overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}d}=\frac{1}{2}$
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})=\vec{a} \cdot(\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{d}))$
$=\overrightarrow{{}a} \cdot((\overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}d}) \overrightarrow{{}c}-(\overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}c}) \overrightarrow{{}d}) \qquad [\because \ \vec{b} \cdot \vec{c} =0]$
$=(\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}c})(\overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}d})=\frac{1}{4}$
बीटा
