उत्तर: (8)

समाधान:

सूत्र: दो वेक्टरों का वेक्टर गुणनफल जब दो वेक्टर समानांतर या लंब हो।

$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}, \vec{a} \cdot \vec{c}=7$

$\overrightarrow{{}a} \times \overrightarrow{{}c}-\overrightarrow{{}b} \times \overrightarrow{{}c}=\overrightarrow{{}0}$,

$(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c}=0 \Rightarrow(\vec{a}-\vec{b})$ तथा $\vec{c}$ समानांतर है

$\vec{a}-\vec{b}=\mu \vec{c}$, जहाँ $\mu$ एक अदिश है

$-2 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \lambda \hat{k}=\mu \cdot \overrightarrow{{}c}$

अब $\vec{a} \cdot \vec{c}=7$ से $2 \lambda^{2}+12=7 \mu$

और $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\frac{43}{2}$ से $4 \lambda^{2}+82=43 \mu$

$\mu=2$ और $\lambda^{2}=1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3-10- \lambda^2$

$= -7-\lambda^2$

$=-7-(1)$

$=-8$

$|\overrightarrow{{}a} \cdot \overrightarrow{{}b}|=8$