उत्तर: 11

समाधान:

सूत्र: दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन; चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

$A(2,6,2) \quad B(-4,0, \lambda), C(2,3,-1) D(4,5,0)$

क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{{}AC} \times \overrightarrow{{}BD}|=18$

$\overrightarrow{{}A C} \times \overrightarrow{{}B D}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -3 \\ 8 & 5 & -\lambda\end{vmatrix} $

$=(3 \lambda+15) \hat{i}-\hat{j}(-24)+\hat{k}(-24)$

$\overrightarrow{{}A C} \times \overrightarrow{{}B D}=(3 \lambda+15) \hat{i}+24 \hat{j}-24 \hat{k}$

$=\sqrt{(3 \lambda+15)^{2}+(24)^{2}+(24)^{2}}=36$

$=\lambda^{2}+10 \lambda+9=0$

$=\lambda=-1,-9$

$|\lambda| \leq 5 \Rightarrow \lambda \in [-5, 5]$

$5-6 \lambda=5-6(1)= -1$