उत्तर: (3)

समाधान:

सूत्र: दो वेक्टरों के अदिश गुणनफल के सूत्र जब दो वेक्टर समान्तर या लम्ब हो।

मान लीजिए $\vec{\beta}_1=\lambda \vec{\alpha}$

अब $\vec{\beta}_2=\vec{\beta}-\vec{\beta}_1$

$=(\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k})-\lambda(4 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})$

$=(1-4 \lambda) \hat{i}+(2-3 \lambda) \hat{j}-(5 \lambda+4) \hat{k}$

$\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha}=0$

$\Rightarrow 4(1-4 \lambda)+3(2-3 \lambda)-5(5 \lambda+4)=0$

$\Rightarrow 4-16 \lambda+6-9 \lambda-25 \lambda-20=0$

$\Rightarrow 50 \lambda=-10$

$\Rightarrow \lambda=\frac{-1}{5}$

$\vec{\beta}_2=(1+\frac{4}{5}) \hat{i}+(2+\frac{3}{5}) \hat{j}-(-1+4) \hat{k}$

$\vec{\beta}_2=\frac{9}{5} \hat{i}+\frac{13}{5} \hat{j}-3 \hat{k}$

$5 \vec{\beta}_2=9 \hat{i}+13 \hat{j}-15 \hat{k}$

$5 \vec{\beta}_2 \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=9+13-15=7$