उत्तर: 3

समाधान:

सूत्र: दो वेक्टरों का वेक्टर गुणन जब दो वेक्टर समान्तर हों , दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन: लैग्रांज की पहचान

दिया गया है, $2(\vec{a} \times \vec{b}) = 3 (\vec{c} \times \vec{a})$

$\Rightarrow 2(\vec{a} \times \vec{b})- 3(\vec{c} \times \vec{a}) = 0$

$\Rightarrow 2(\vec{a} \times \vec{b})+3(\vec{a} \times \vec{c}) =0 \qquad [\because \vec{c} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{c}) ]$

$ \begin{aligned} & \vec{a} \times(2 \vec{b}+3 \vec{c})=0 \\ & \vec{a}=\lambda(2 \vec{b}+3 \vec{c}) \end{aligned} $

$|\overrightarrow{{}a}|^{2}=\lambda^{2}|2 \overrightarrow{{}b}+3 \overrightarrow{{}c}|^{2}$

$|\overrightarrow{{}a}|^{2}=\lambda^{2}(4|\overrightarrow{{}b}|^{2}+9|\overrightarrow{{}c}|^{2}+12 \overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}c})$

$31=31 \lambda^{2} \Rightarrow \lambda= \pm 1$

$\overrightarrow{{}a}= \pm(2 \overrightarrow{{}b}+3 \overrightarrow{{}c})$

$\frac{|\vec{a} \times \vec{c}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}=\frac{2|\vec{b} \times \vec{c}|}{2 \vec{b} \cdot \vec{b}+3 \vec{c} \cdot \vec{b}}$

$|\overrightarrow{{}b} \times \overrightarrow{{}c}|^{2}=|\overrightarrow{{}b}|^{2}|\overrightarrow{{}c}|^{2}-(\overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}c})^{2}=\frac{3}{4}$

$ |\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}| = \frac{\frac{2\cdot \sqrt{3}}{2}}{2\cdot \frac{1}{4}-\frac{3}{2}}=-\sqrt{3} $

$(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}})^{2} = 3$

इसलिए, उत्तर 3 है।