उत्तर: (3)

समाधान:

सूत्र: त्रिकोणमितीय चतुष्फलक का आयतन , समतल का समीकरण

$\begin{aligned} \text { समतल } p \text{ का समीकरण: } \quad & 2(x-2)+a(y-a)+4(z-4)=0 \\ & 2 x-4+a y-a^2+4 z-16=0 \\ & 2 x+a y+4 z=20+a^2\end{aligned}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{\dfrac{20+a^2}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{20+a^2}{a}}+\dfrac{z}{\dfrac{20+a^2}{4}}=1$

त्रिकोणमितीय चतुष्फलक का आयतन $=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{20+a^2}{2}\right) \cdot\left(\dfrac{20+a^2}{d}\right)\left(\dfrac{20+a^2}{4}\right)=144$

$\Rightarrow \left(20+a^2\right)^3=144 \times 6 \times 2 \times a \times 4 $

$\Rightarrow \left(20+a^2\right)^3=12^3 \times 4 a $

$\Rightarrow \left(\dfrac{20+a^2}{12}\right)^3=4 a$

मान लीजिए $a=2 k^3$

$\Rightarrow \left(\dfrac{20+4 k^6}{12}\right)^3=8 k^3 $

$\Rightarrow \left(\dfrac{20+4 k^6}{12}\right)^3=(2 k)^3$

$\Rightarrow \dfrac{20+4 k^6}{12}=2 k $

$\Rightarrow 20+4 k^6=24 k $

$\Rightarrow k^6+5=6 k $

$\therefore k=1$

$a=2 k^3 $

$\Rightarrow a=2(1)^3=2$

समतल $p$ का समीकरण:

$ \begin{aligned} & 2 x+2 y+4 z=24 \\ &\Rightarrow x+y+2 z=12 \end{aligned} $

अतः, विकल्प (2) सही है।