वेक्टर बीजगणित प्रश्न 15
प्रश्न 15 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\overrightarrow{{}a}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, और $\overrightarrow{{}b}$ और $\overrightarrow{{}c}$ दो गैर-शून्य वेक्टर हैं जैसे कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|$ और $\overrightarrow{{}b} \cdot \overrightarrow{{}c}=0$। निम्नलिखित दो कथन को ध्यान में रखिए:
(A) $|\overrightarrow{{}a}+\lambda \overrightarrow{{}c}| \geq|\overrightarrow{{}a}|$ सभी $\lambda \in \mathbb{R}$ के लिए।
(B) $\vec{a}$ और $\vec{c}$ हमेशा समान्तर होते हैं
(1) केवल (B) सही है
(2) न तो (A) न ही (B) सही है
(3) केवल (A) सही है
(4) (A) और (B) दोनों सही हैं।
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: वेक्टर के अदिश गुणन के गुण
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|^{2}$
$\Rightarrow 2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=2 \vec{a} \cdot \vec{b}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}-2 \vec{c} \cdot \vec{a} \qquad [\because \vec{b} \cdot \vec{c} = 0]$
$\Rightarrow 4 \vec{a} . \vec{c}=0$
$\Rightarrow \vec{a} . \vec{c}=0$
(B) गलत है
$\Rightarrow |\overrightarrow{{}a}+\lambda \overrightarrow{{}c}|^{2} \geq|\overrightarrow{{}a}|^{2}$
$\Rightarrow |\vec{a}|^2+ \lambda^2 c^2+2 \lambda \vec{a} \cdot \vec{c} \geq |\vec{a}|^2 \qquad [\because \vec{a} \cdot \vec{c} = 0]$
$\Rightarrow \lambda^{2} c^{2} \geq 0$
सभी $\lambda \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है
(A) सही है।
बीटा
