त्रिकोणमितीय अनुपात प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 30 जनवरी - विस्थापन 1
यदि समीकरण $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1, x \in(0, \frac{\pi}{2})$ का समाधान $\sin ^{-1}(\frac{\alpha+\sqrt{\beta}}{2})$ है, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तो $\alpha+\beta$ किसके बराबर है:
(1) 3
(2) 5
(3) 6
(4) 4
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: सार्वभौमिक लघुगणक फलन के गुण , द्विघात समीकरण के मूल , पाइथागोरियन पहचान
$\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1$
$\Rightarrow \frac{\ln \cos x-\ln \sin x}{\ln \cos x}+4 \frac{\ln \sin x-\ln \cos x}{\ln \sin x}=1$
$\Rightarrow(\ln \sin x)^{2}-4(\ln \sin x)(\ln \cos x)+4(\ln \cos x)^{2}= 0$
$\Rightarrow \ln \sin x-2 \ln \cos x = 0$
$\Rightarrow \sin ^{2} x+\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \alpha+\beta=4$
सही विकल्प (4)
बीटा
