उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: एक तल और एक बिंदु (7.1) और (7.4)

रेखा PM की समीकरण $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-1}=\lambda$

रेखा पर कोई बिंदु $=(\lambda+2,2 \lambda-1,-\lambda+3)$

बिंदु ’m’ के लिए $(\lambda+2)+2(2 \lambda-1)-(3-\lambda)=0$

$ \lambda=\dfrac{1}{2} $

बिंदु $m(\dfrac{1}{2}+2,2 \times \dfrac{1}{2}-1, \dfrac{-1}{2}+3)$

$=(\dfrac{5}{2}, 0, \dfrac{5}{2})$

प्रतिबिम्ब Q के लिए $(\alpha, \beta, \gamma)$

$\dfrac{\alpha+2}{2}=\dfrac{5}{2}, \dfrac{\beta-1}{2}=0$,

$\dfrac{\gamma+3}{2}=\dfrac{5}{2}$

$Q:(3,1,2)$

$d=|\dfrac{3(3)+2(1)+2+29}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}}}|$

$d=\dfrac{42}{\sqrt{14}}=3 \sqrt{14}$

एक अन्य विधि

मुख्य अवधारणा: बिंदु $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ के तल $a x+b y+c z+d=0$ में प्रतिबिम्ब

$ \dfrac{x-x_L}{a}=\dfrac{y-y_L}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}=\dfrac{-2\left(a x_1+b y_1+c z_1+d\right)}{a^2+b^2+c^2} $

यदि बिंदु $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ से तल $a x+b y+c z+d=0$ की दूरी $D$ है

$ D=\dfrac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $

$\begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{-1}=\dfrac{-2[2+2(-1)-3]}{1^2+2^2+(-1)^2} \\ & \Rightarrow \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{2-3}{-1}=\dfrac{6}{6}=1 \\ & \Rightarrow \dfrac{x-2}{1}=1, \quad \dfrac{y+1}{2}=1, \quad \dfrac{2-3}{-1}=1 \\ & \Rightarrow x=3, y=1, z=2\end{aligned}$

$\begin{aligned} \text { आवश्यक दूरी } & =\dfrac{|3(3)+2(1)+2+29|}{\sqrt{9+4+1}} \ & =\dfrac{|9+4+29|}{\sqrt{14}} \ & =\dfrac{|42|}{\sqrt{14}} \ & =\dfrac{42}{\sqrt{14}} \ & =\dfrac{14 \times 3}{\sqrt{14}}=3 \sqrt{14}\end{aligned}$