उत्तर: 180

समाधान:

सूत्र: एक बिंदु और एक रेखा , दिशा अनुपात और दिशा अनुपात , त्रिभुज का क्षेत्रफल (6.7)

रेखा $L$ पर कोई बिंदु $((2 \lambda+1),(-\lambda-1),(\lambda+3))$ है

$2(2 \lambda+1)+(-\lambda-1)+3(\lambda+3)=16$

$6 \lambda+10=16 \Rightarrow \lambda=1$

$\therefore P=(3,-2,4)$

$QR$ के दिशा अनुपात $\langle 2 \lambda,-\lambda, \lambda+6\rangle$

$L$ के दिशा अनुपात $\langle 2,-1,1\rangle$

$4 \lambda+\lambda+\lambda+6=0 \Rightarrow 6 \lambda+6=0 \Rightarrow \lambda=-1$

$Q=(-1,0,2)$

$ \overrightarrow{{}QR}=2 \hat{i}-\hat{j}-5 \hat{k} \quad \overrightarrow{{}QP}=4 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} $

$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}QR} \times \overrightarrow{{}QP}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} =-12 \hat{i}-24 \hat{j} \\ & \alpha=\frac{1}{2} \times \sqrt{144+576} \Rightarrow \alpha^{2}=\frac{720}{4}=180 \end{aligned} $