उत्तर: 158

समाधान:

सूत्र: दो रेखाखंडों के बीच कोण

$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 2\end{vmatrix} =4 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$

$\therefore$ रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{-1}$

मान लीजिए $Q$ बिंदु $(5,3,8)$ है और $Q$ से इस रेखा पर लम्ब का पाद $R$ है।

अब, $R \equiv(k+2,-k+3,-k+1)$

$QR$ के दिशा अनुपात $(k-3,-k,-k-7)$ हैं

$\therefore(1)(k-3)+(-1)(-k)+(-1)(-k-7)=0$

$\Rightarrow k=-\frac{4}{3}$

$R: \left(\frac{-4}{3}+2, \frac{4}{3}+3, \frac{4}{3}+1\right) \equiv \left(\frac{2}{3}, \frac{13}{3}, \frac{7}{3}\right)$

$QR = \sqrt{\left(5-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(3-\frac{13}{3}\right)^2 + \left(8-\frac{7}{3}\right)^2}$

$\Rightarrow \alpha^{2}=(\frac{13}{3})^{2}+(\frac{4}{3})^{2}+(\frac{17}{3})^{2}=\frac{474}{9}$

$\therefore 3 \alpha^{2}=158$