उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: समतल का समीकरण , दो सदिशों का सदिश गुणनफल

$ \begin{aligned} & \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{2 y+1}{2}=\dfrac{z+1}{-1} \\ & \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{z+1}{-1} \end{aligned} $

बिंदु : A $(-1, k, 0), B(2, k,-1), C(1,1,2)$

$ \overrightarrow{{}CA}=-2 \hat{i}+(k-1) \hat{j}-2 \hat{k} $

$\overrightarrow{{}CB}=\hat{i}+(k-1) \hat{j}-3 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}CA} \times \overrightarrow{{}CB}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & k-1 & -2 \\ 1 & k-1 & -3\end{vmatrix} $

$=\hat{i}(-3 k+3+2 k 2)-\hat{j}(6+2)+\hat{k}(-2 k+2-k+1 )$

$=(1-k) \hat{i}-8 \hat{j}+(3-3 k) \hat{k}$

रेखा $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$ अभिलम्ब सदिश के लंबवत है।

$\therefore 1(1-k)+1(-8)+(-1)(3-3 k)=0$

$\Rightarrow 1-k-8-3+3 k=0$

$\Rightarrow 2 k=10 \Rightarrow k=5$

$\therefore \dfrac{k^{2}+1}{(k-1)(k-2)}=\dfrac{26}{4 \cdot 3}=\dfrac{13}{6}$