त्रि-विमानी ज्यामिति प्रश्न 18
प्रश्न 18 - 30 जनवरी - विस्थापन 1
एक एकक सदिश $\widehat{ OP }$ निर्देशांक अक्ष $OX$, $OY , OZ$ के धनात्मक दिशा में कोण $\alpha, \beta, \gamma$ बनाता है, जहाँ $\beta \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ यदि $\widehat{ OP }$ बिंदु $(1,2$, $3),(2,3,4)$ और $(1,5,7)$ से गुजरने वाले समतल के लम्ब है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है ?
(1) $\alpha \in(\dfrac{\pi}{2}, \pi)$ और $\gamma \in(\dfrac{\pi}{2}, \pi)$
(2) $\alpha \in(0, \dfrac{\pi}{2})$ और $\gamma \in(0, \dfrac{\pi}{2})$
(3) $\alpha \in(\dfrac{\pi}{2}, \pi)$ और $\gamma \in(0, \dfrac{\pi}{2})$
(4) $\alpha \in(0, \dfrac{\pi}{2})$ और $\gamma \in(\dfrac{\pi}{2}, \pi)$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: समतल का समीकरण (6.7) , दिशा अनुपात और दिशा अक्ष (दिशा अनुपात और दिशा अक्ष)
समतल का समीकरण :-
$ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} =0 \\ & \Rightarrow[x-1]-4[y-2]+3[z-3]=0 \\ & \Rightarrow x-4 y+3 z=2 \end{aligned} $
समतल के अभिलम्ब के दिशा अनुपात $<1,-4,3>$
दिशा अक्ष $\quad \left\langle \pm \dfrac{1}{\sqrt{26}}, \mp \dfrac{4}{\sqrt{26}}, \pm \dfrac{3}{\sqrt{26}}\right\rangle$
$\cos \beta=\dfrac{4}{\sqrt{26}}$
$\cos \alpha=\dfrac{-1}{\sqrt{26}} \Rightarrow \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$
$\cos \gamma=\dfrac{-3}{\sqrt{26}} \Rightarrow \dfrac{\pi}{2}<\gamma<\pi$
उत्तर : (1)
बीटा
