उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: अनुपात का सूत्र , बिंदु $P$ से निर्देशांक अक्षों की दूरी , समतल का समीकरण

$A(a,-2,4), B(2, b,-3)$

$AC: CB=2: 1$

$\Rightarrow C \equiv(\dfrac{a+4}{3}, \dfrac{2 b-2}{3}, \dfrac{-2}{3})$

$C$ समतल $2 x-y+2=4$ पर स्थित है

$\Rightarrow \dfrac{2 a+8}{3}-\dfrac{2 b-2}{3}-\dfrac{2}{3}=4 $

$\Rightarrow a-b=2 \ldots \quad \ldots (i)$

इसके अतिरिक्त $OC=\sqrt{5}$

$\Rightarrow(\dfrac{a+4}{3})^{2}+(\dfrac{2 b-2}{3})^{2}+\dfrac{4}{9}=5 \quad \ldots (ii)$

(i) और (ii) को हल करने पर

$(b+6)^{2}+(2 b-2)^{2}=41$

$\Rightarrow 5 b^{2}+4 b-1=0$

$\Rightarrow b=-1$ या $\dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow a=1$ या $\dfrac{11}{5}$

लेकिन $ab<0 \Rightarrow(a, b)=(1,-1)$

$C \equiv(\dfrac{5}{3}, \dfrac{-4}{3}, \dfrac{-2}{3}), P \equiv(2,-1,-3)$

$CP^{2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{51}{9}=\dfrac{17}{3}$